0 课程介绍 一、序言 1.高等数学 高等数学是一门研究变化、运动的科学。高等数学的内容包括极限、微分学、积分学及其应用，其理论基础是极限，核心内容是微积分。恩格斯曾说:“在一切理论成就中，未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神最高胜利了。”美国著名的数学家与数学史家克莱因(M.kline)教授在他所著《古今数学思想)一书中也曾指出:“微积分是继欧几里得几何之后,全部数学中的一个最伟大的创造。是十七世纪最伟大的成就。”说明高等数学的发明对于数学历史发展过程中所具有的无与伦比的巨大作用，甚至可以说，对人类历史的发展进程也产生了巨大的影响。 2.高等数学的产生 高等数学思想的萌芽很早就出现了, 中国战国时代的《庄子. 天下》篇中的“一尺之棰, 日取其半, 万事不竭”, 就蕴涵了高等数学的基本思想--极限。古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪运用杠杆原理推导出了球体的体积公式，就包含了高等数学思想中定积分的基本原理。之后，到了1 7 世纪，欧洲许多数学家开始运用高等数学的思想来求极大值与极小值，以及曲线的长度等等。当时，科学上对数学也提出了四个核心问题:(1)运动中速度与距离的互求问题;(2)求曲线的切线问题;(3)求最大值、最小值问题;(4)求长度、面积、体积与重心问题。这些都为牛顿——莱布尼兹创立高等数学学说奠定了基础。 3.高等数学的地位与作用 （1）高等数学是近代数学发展的基础 著名的数学家、计算机的发明者冯.诺依曼曾说过：“ 微积分 是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分。”由此可见，高等数学在近代数学发展中的作用。高等数学是整个近代数学的基础，有了高等数学，才有了真正意义上的近代数学。高等数学是一种重要的数学思想，它反映了自然界、社会的运动变化的内在规律，它紧密的与物理学和力学联系在一起，它的产生可以说是数学发展的必然。正如恩格斯所说的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完发的，但不是由他们发明的”。因此，高等数学是近代数学的重要组成内容和近代数学发展的基础。。 （2）高等数学是当代科学研究的基础 这门学科的创立不仅极大的推进了数学自身的发展，而且影响和推动了其它学科的发展。今天，这门学科广泛应用于各个方面的科学研究，例如：物理学方面，高等数学成了物理学的基本语言，许多物理学问题要依靠高等数学来寻求解答。天文学方面，牛顿应用高等数学学及微分方程，从万有引力定律导出了开普勒行星运动三大定律。其它学科诸如化学、生物学、地理学、现代信息技术等这些学科同样离不开高等数学的使用，可以说这些学科的发展很大程度上时依赖高等数学的运用，这些学科运用高等数学的方法推导演绎出各种新的公式、定理等。由此可见，高等数学是其他学科科学研究的基础和工具。 二、高等数学学习目的 1.训练逻辑思维和推理能力 （数学是思维体操）； 2.为学习后继课程 打好基础 （为学习后继课程提供必须的数学工具，如：物理、计算机、电子、机械、 经济、运筹、统计、会计等等）； 3.提高数学素养 （数学是科学技术的载体，数学是科技的基础）； 4.为进一步深造和工作做好准备 （数学位于三大重点基础学科之首，硕士研究生入学考，科技是第一生产力，未来从事科学研究的需要）。 三、 高等数学学习要求与方法 1.学习的基本要求 （1）通过高等数学的学习，应掌握上述几个方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和解决实际问题提供数学知识及数学方法。如果数学基础不打好，必然会影响后继课程的学习及今后的工作。 （2）在学习数学的过程中，要通过教与学的各个环节，逐步培养自己的概括问题的能力、逻辑推理能力以及自学能力，还要掌握比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识去分析和解决实际问题的能力。 2.学习的基本方法 （16字方针） 课前预习，课堂学习，课后复习，及时练习 同学们以后的学习，不仅要注意高等数学课程的内容与中学数学的区别与联系，还要尽快适应高等数学课程的新的教学特点。认真上好第一节高等数学课，严格按照要求去做。若能坚持做到，课前预习，课上听讲，课后复习，认真完成作业，课后对所学的知识进行归纳总结，加深对所学内容的理解，从而也就掌握了所学的知识，就不难学好高等数学这门课。因此，务必做到以下几点： （1）尽快适应环境 大学学习是人生的一大转折点。大学教育注重于培养同学们的独立生活、独立思考、独立分析问题和解决问题的能力，而不像中学那样有一个依赖的环境。新同学需尽快适应大学生活，形成一个良好的开端，这对大学的学习生涯是有益的。 （2）注意中学数学和高等数学的区别与联系 中学数学课程的中心是从具体数学到概念化数学的转变。中学数学课程的宗旨是为大学高等数学作准备。学习数学总要经历由具体到抽象、由特殊到一般的渐进过程。由数引导到符号，即变量的名称；由符号间的关系引导到函数，即符号所代表的对象之间的关系。高等数学首先要做的是帮助学生发展函数概念——变量间关系的表述方式。这就把同学们的理解力从数推进到变量、从描述推进到证明、从具体情形推进到一般方程，开始领会到数学符号的威力。但高等数学的主要内容是高等数学，它继承了中学的训练，它们之间有千丝万缕的联系。 （3）尽快适应高等数学课程的教学特点 为了适应２１世纪高等数学课程的教学改革，高等数学课程的教学也发生了很大的变化，在传统的教学手段的基础上，采用了更加具体化、形象化的现代教育技术，这也是一般中学所没有的，因此，同学们在进入大学以后，不仅要注意高等数学课程的内容与中学数学的区别与联系，还要尽快适应高等数学课程的新的教学特点。有些同学就是没有把握好自己，一看高等数学一开始的内容和中学所学内容极其相似，就掉以轻心，认为自己看看就会了，要么不听课，要么不完成作业，结果导致后面的章节听不懂，跟不上，甚至有的同学就一直跟不上，学期未成绩不理想，甚至不及格。 希望同学们以饱满的热情，良好的学习风气，在入校后较短的时间内，尽快适应高等数学课程的学习，寻找出一套好的学习方法，把高等数学这门课程学好。 高等数学的应用举例 利用高等数学提高卫星图像质量 卫星翱翔太空，需要有一双明察秋毫的慧眼。但我国遥感卫星由于受噪声干扰，图像就像电视机信号不好一样，画面布满了“雪花”。 一个偶然的机会，国防科技大学理学院的数学专家了解到这一情况。要解决图像质量问题，首先要了解成像原理。于是，团队成员抱来一大摞成像方面的书籍进行系统学习，又到卫星研制单位、用户单位及各相关部队进行实地调研。 专家们将卫星图像质量不高的问题，描述成数学语言，并将误差扩散过程转换为一个二维函数方程求解，试图使干扰的图像恢复本来面目。 科学研究总会出现这样的情况——理论上看似行得通，实践中却做不到。他们发现，这个二维函数方程求解，只适用于处理光学图像，对处理雷达图像随机噪声斑点问题，完全无效。 攻关一时陷入困境，但专家们没有轻言放弃。他们先对二维函数方程进行改造，再将图像目标特征信息放到方程中去求解，如此这般地经过连续多年攻关，终于建立起一个全新的偏微分方程。就是这个方程，一举将图像质量提高了30%，达到国内领先、国际先进水平。 在庆功宴上，一位部队领导感慨地说：“你们的这个方程能值一个亿。”