《高等数学B》（二）考试大纲 考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数的基本概念、基本理论和基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。 一、向量代数和空间解析几何 考试内容 向量的概念；向量的线性运算；向量的数量积和向量积；两向量垂直、平行的条件；两向量的夹角；向量的坐标表达式及其运算；单位向量；方向数与方向余弦；曲面方程和空间曲线方程的概念；平面方程、直线方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件；点到平面和点到直线的距离；球面、柱面、旋转曲面与常用的二次曲面方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。 考试要求 1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件. 3. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法. 4. 掌握平面方程和直线方程及其求法. 5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 6．会求点到直线以及点到平面的距离. 7. 理解曲面方程和空间曲线方程的概念. 8. 理解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程. 9. 理解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程. 二、多元函数微分法及其应用 考试内容 多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限与连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数的偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线；二元函数的二阶泰勒公式；多元函数的极值和条件极值；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 考试要求 1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2．掌握二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质. 3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分. 4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．理解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数. 6．理解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 7．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件及充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题. 三、重积分 考试内容 　　二重积分与三重积分的概念与性质；二重积分与三重积分的计算；二重积分与三重积分的应用。 考试要求 1．理解二重积分、三重积分的概念，掌握重积分的性质. 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）. 3．会用重积分求一些几何量（平面图形的面积、体积）. 四、曲线积分 考试内容 　　两类曲线积分的概念、性质及计算；两类曲线积分的关系；格林（Green）公式；平面曲线积分与路径无关的条件；二元函数全微分的原函数。 考试要求 1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系. 2．掌握计算两类曲线积分的方法. 3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数. 五、无穷级数 考试内容 　　常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数与级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法；交错级数与莱布尼茨定理；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数的和函数；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法；初等函数的幂级数展开式。 考试要求 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件. 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法. 5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和. 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件. 10．掌握，，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数. 试卷结构与题型 一、试卷分数 满分100分。 二、试题类型 单项选择题、填空题和解答题。 单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。 填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程。 解答题包括计算题、应用题和证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。 三、题型比例 单项选择题约30%，填空题约40％，解答题约30％（其中证明题不超过10%）。 4*8个+4*10个+10*2个+8*1个=100分（21个题） （一） 试题难度 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例约为4∶4∶2。 （二） 试卷内容比例 向量代数与空间解析几何约15 %； 多元函数微分（含函数与极限）约30 %； 多元函数积分约 20 %； 曲线积分约 20 %； 无穷级数约15 %。 考试方式与时间 考试方式：闭卷机试（不准使用计算器）。 考试时间：120分钟。